Si \(x\neq 0\), $${{(x^n)^{-1} }}={{\frac{1}{x^n} }}={{\left(\frac{1}{x}\right)^n}}={{x^{-n} }}$$
Addition et multiplication de puissances
Soient \(n,m\in\Bbb Z\). Alors $${{x^{n+m} }}={{x^n.x^m}}$$
$${{(x^n)^m}}={{x^{nm} }}$$
Puissance non entière
Soit \(r\in\Bbb Q\setminus\Bbb Z,r\gt 0\)
Soient \(n,p\) tels que \(r=\frac pn, p\in\Bbb N\setminus\{0\}\) et \(n\in\Bbb N\setminus\{0,1\}\)
Alors : $${{x^r=x^{p\over n} }}={{\left(\sqrt[n]{x}\right)^p}}$$
Pour
Développement limité avec \(a=0\) : $${{(1+x)^\alpha}}={{\sum^n_{k=0}\binom\alpha kx^k+x^n\epsilon(x)}}={{\sum^n_{k=0}\frac{x^k\prod^k_{i=0}(\alpha-i) }{k!}+x^n\epsilon(x)}}$$
Développement limité à l'ordre \(1\) en \(0\) : $$(1+x)^\alpha={{1+\alpha x}}+x\varepsilon(x)$$
Développement limité à l'ordre \(2\) en \(0\) : $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+{{\frac{\alpha(\alpha-1)x^2}2}}+x^2\varepsilon(x)$$
Développement limité à l'ordre \(3\) en \(0\) : $${{(1+x)^\alpha}}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)x^2}2+{{\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)x^3}6}}+x^3\varepsilon(x)$$